Приятного просмотра

Магические и латинские квадраты. Ч. 1.

Опубликовано: 5 лет назад
3 500 просмотров
👎 3
Скопируйте и вставте на Ваш сайт

Описание

Лекция была прочитана для семиклассников в летней математической школе "Kostroma Open 2013" http://kostroma-open.info/ . Лектор - Д.А. Калинин

Субтитры

У нас с вами будет занятия в котором мы получим ценные практические знания как рисовать магической по нраву если у нас хватит времени я вам покажу забавную вещь я они вполне могут использоваться на практике значит всем орниш все все эти магические квадраты в наверное сталкивались на сумочке равны вообще какие-то красивые расстановки чисел на них вращалась внимания давно и это было.

В разряде таких забавных головоломок которыми выполнялось математиков и их дальше на эти головоломки народ обращал внимание и делал какие-то серьезные выводы но сорву с практической точки зрения была очень непонятно зачем это нужно я вам потом скажут какие-то город как это все происходило вот и уже 2 20 веке когда как вы значимость все при такой математики которая называется.

Дискретным возвращался эти со всякими там информатикой экономики прочим вот вдруг обнаружилось что это вполне эфир где-то может пригодится поэтому вот какое-то разумное использование успех мы посмотрим сначала я хочу спросить про стою за череву вещь поднимите руку кто когда не кто хотя бы раз жизни самостоятельно искал квадрат магические перина 30 по просто вот потом.

Ситуация когда табличка 3 на 3 и нужное и так запомню чтобы все получилось почитать давайте сформулировать чему катер на и так у нас есть квадрат 3 ноты и мы хотим туда мы записать числа 1 так чтобы сумма чисел строчка во всех столбцах и двух вот этих больших диагонали были равны вот вот скажите пожалуйста какие соображения в этом деле помогает вот у нас есть.

Опытные люди да и на что поделить на 3 а муж туда вы пример сумма в строчках это три одинаковые сама все вместе они составляют поэтому сумма сумму которую нам надо получить разложить от одного до девяти делить на 3 получить 15 заметим что вот эти вот вообще рассуждения годятся для квадрата любого размера есть мы захотим.

Сделать в квадрат 5 на 5 заполнить его числами от 1 до 25 и там почему-то расставлять мы эту сумму можем узнать примерно таким же образом отлично вот какие еще соображения хорошая при заполнении квадратов кто-то это дело просто дальше 3 кандар между опыт говорит ну давайте я вам скажу хорошие ответы вы можете это проверить на самом деле вот фанера predatory все.

Знают но например small кому приходит в голову такой замечает клипа что показывается он не просто вот такой хороший да вот если найти количество троек различных чисел от одного до девяти которых сумму год 15 то окажется что их раз два три 4 5 шесть 7 8 и они все реализуют вторых что еще пара 4 на 3 есть хорошего это то что он легко.

Восстанавливается если посмотреть какое число сколько комбинаций входят вот если просто взять и записать порадовать приведем пример нам например если у нас используют что он же давно 15 добавляться с кем 9 и 5 что еще конечности все нельзя а дальше вас единица может быть только с двумя рядами вопрос где стоит единиц за.

Она не может стоять здесь должна собрать 1 2 3 4 варианта и она даже не может стать а вот стреляли значит единицы где-то здесь вот абсолютно также понятно на самом деле ждет кто же возможно ну и так далее если для каждой цифры понять-то нарушится что сама популярно цифра пять она единственный падальщики варианта вот 19 точно по краям двойка лучший твой это 94.

А это уже нечестно правильно поэтому у вас не будет там одинаковых как тут получилось 70 лет 285 и здесь 76 уже может рифму сейчас например очень быстро можно осуждать потому что давайте не может быть здесь проник сюда надо нам понятно что она стоит либо тут либо то с точки зрения симметрии безразницы той двойка я сумма 15 дальше здесь стоит на 8 так нельзя кушать ну да дальше уже все.

Понятно 49 ну вот эту поляну 9 плечо 87 до здесь надо центре но идеи понятно вот на самом деле если это все просто написать играешь в квадрате 303 по сути 11 единственные не повторим все остальные это вот тоже самое только может быть там повернута перевернут еще относительно духовное не стоят одинаково отлично этот квадратик перина 3.

Ну вот даже стародавние времена 2 на 3 было как-то совсем тривиально вот есть знаменитая картина называется меланхолия нет когда какой-то задумчивый товарищ и у него картине изображен магический квадрат 4 на 4 одними кирюху когда-то были под раз заполнял магический квадрат 4 на 4 и что получилось я же не спрашивал получится не получится тоже спрашивал честно про.

Пробовали отделение я вам честно скажу я не знаю человека в его хватило выдержки сделать квадрат 4 на 4 вообще не не при двигая никаким собраны поэтому в качестве корпуса мы сейчас с вами построим квадрат 4 ночи ты потом мы будем строить в квадрат 5 на 5 6 на 6 7 на 7 и дойдем до 19 как было обещано - это шутка это не так важно . и люди читали.

Давайте сначала попробуем сделать какую-то простую незатейливую вещь сделать все чтобы был гораздо проще построить будет несколько шагов очищать pen шаг 1 мы построим квадрат 4 на 4 не из различных чисел от 1 до 16 а мы сделаем немножко другой хитрый квадрат немножко попроще квадрат такой значит мы будем заполнять его числами 0.

1 2 3 так чтобы не суммы - ум автомат на полу а чтобы в каждой строчке каждом столбце и в каждой из главных диагонали боли просто все эти числа присутствовали что типа на на похоже на судоку ну давайте на самом деле я вам советую нарисовать то что скажем нашел свой потому что все дальнейшие действия он может делать со своим поварам.

Эти куски если кто-то наберется терпели зайди запись можно вычеркнуть тогда кажется что вы так и бы сам все нужны он тебя не стоит от того еще денег у нас такое сложное восстановление главное следите куратор за диагонали там не сумма должна удивят оно должно быть аккуратненько аккуратненько тоже от 0 до.

3 я вот просто менты трудных обычно получаются и я там если заботиться только а строчку столбца в диагоналях может быть и типа 0022 очевидно давайте обратим внимание вот кто у кого получилось.

Смотреть наш завод на самом деле самый тупой вариант как действовать чтобы обеспечить летчики станции вот такой когда мы сделаем прыгнули 123 солнечная сдвигать 0 1 2 3 0 1 2 3 и 0 1 2 3 это отличный способ которые обеспечивают строчки столбцы но к сожалению диагонали вы получается плохо поэтому это не наш мест что да нет нормально чек понимает.

Какую-то закономерно понять да она хорошая но к сожалению если бы она давала нам результат то с этим вопросом было бы не так интересно вот и вот-вот не был достоин того чтобы замечательно ученикам нашей школы размазывание замки не интересные вещи жизнь на самом деле интересен но дальше у кого не получилось в итоге можете рисовать мой а.

Все дружно у проверив и правда да я ваще отлично а вот теперь а теперь я могу с легкостью нарисовать ещё один такой же квадрат вот просто повернув вот этот на 90 градусов как нетрудно догадаться он будет обладать руму такими же свойств давай а вы свой переворачиваем как жизнь показала практика практически при всех получается говорят ворота когда то не получилось но я зря ситуацию не.

Зарисовал тонн станок столько редко что 2 2 шаг так хорош а так вы можете нарисовать табличку чуть чуть покрупнее потому что у нас в каждой ячейке должно быть 2 цена следующие шаги простые зрители будут смотрите что мы делаем мы делаем так мы сюда как ты это про себя называю эту операцию сплит и мы из 2 в квадрате.

Получаем этот мешает это получаемый результат значит мы берем в каждую ячейку записывают две цифры на первое место мы записываем цифру отсюда на вторую отсюда понятно и так например сюда вот 01 а вы можете делать спокойно своим квадрате у нас будет чуть другой смотреться на 1322 ну а те кто у меня срисовал выполнят замечательную работу они проверят.

Чтоб я всю правду 0311 и 31 10 может pharma 123 123 док начинать было нежели вместо начинать хорошую лекцию снова страница ну вот кто заполнил важно продумать ей чего получилось почему получилось очень.

Хорошего чё хорошему получили такой почему сейчас магический квадрат это там где расставлены число от 1 до 16 ваш нервов во 1 из двух цифр от 0 до 3 разных комбинаций ровно 16 и удивительным образом у меня получилось так что все комбинации присутствуют смотрите 000 сейчас 02 03 03.

Дальше 10 10 11 12 13 да ну и тогда казалось что ты есть на самом деле на самом деле опытный народ должен сказать что на самом деле магический квадрат уже есть вот кто мне объяснит почему у нас как бы наши чувства этот аккуратненько попасть смотрите на сначала идет майну потом 01 02 03 а потом в москве 0 3 дня 2 ночи 41011.

Совсем никому ничего это не напоминает четверичная система счисления то есть мы как бы живем в таком мире когда цифр не 10 от нуля до девяти от центра всего 4 и тогда у нас есть 0 1 2 3 а дальше так как 4 нет у нас наполнился предыдущий разряд код и дальше нам слову последний наполняется пассатом двойные.

Тогда и понятно двузначный максимально возьми 33 вот на самом деле получилось просто все вычисления и на самом деле вот эти как бы такие записи соответствуют числам но и 1 2 3 4 5 и так далее данном случае будет достойно до 15 наметим правило такое мать первую цифру 1 цифра быть сколько полу 4 набрал вас правильно да а вторая сколько еще чего.

Соответствовать одна полная 4 плюс еще один училась 5 вот смотреться последние три ты это будет 3 полной 4 12 нас хорошо как тогда получить нам из этого магический квадрат заменить конечно давайте так формально закончен что если у нас есть ячейка с циферками а.б. там и и японцы менять по какой формы плюс b ну и чтобы была мисс 0 единиц.

Плюс еще один вот такой замены вот давайте мы постараемся получить эту хорошую картинку каждый себе заменит и обнаруживались магического пожать 4 на 4 и так у меня чет а тем это 7 10 12 предметов восемь это четыре этот вам времени добавлю дабы не прибавляет давно очень придется делать это еще раз так и.

8 плюс 3х плюс они соответственно не надо еще увеличить увеличить 28 11 и 13 чтобы понятно здесь 9 2010 смагин 1412 подкоп получился принципиальный ноги отпечатки уголок получился принципиальные на место что не поворотами по углам хорошо поверять жертвой было ставить разные.

Штуки то у нас получился квадрат 4 на 4 понятно что как бы чтобы гордиться нечем потому что все как воевать казали но самом деле гордиться нечем не за это гордецы ничего не за смотрите давайте подумаем почему чем хорош этот фокус значит мы старались с вами один раз вот тут правильно мы постарались и чего-то там по расставляли а дальше в общем вы более менее все.

Понятно да вот этот вот квадратик обладает нужными нам свойствами бравую суммы по строчкам по столбцам его то так понятно что когда мы вернем это все сохранится правильно вот что произойдет здесь почему вот нам гарантированно все суммы будут равны вот при такой склейки что если это ответственно например если знаете числа посмотреть как на двузначное то прямое суммирование просто.

Понятно будет всегда однако получаться последним разряде будет так 6 первом разряде будет 6 проект сумму 1 разряда на 2 заряда то соответственно если где-то здесь сумму более работу они будут равны тут правильно правильно отлично так сходить просто в чем фокус вот эти не фокус тут получилось опыту получить правильно это никола все так легко понятно да и весь наш разговор.

Говорит о том что в принципе не фокусу что из этого получается вот это это же оказывается них фокус да то есть у нас есть два фокуса первый фокус у что мы эта карта сделали потому что нам на что надо помирятся что нужно сделать квадрат 1919 надо занимать чтобы нарисовать квадрат 19 на 19 надо сколько там 19 20 на 19 сколько 308 261 доклад чтобы сделать магический квадрат 319 на 19 у.

Вас конечно будет препятствием написать 360 одно число но наверное будут еще какие-то препятствия значит и в принципе в принципе не будет препятствием там что вот из это получается вот эта тише и не думай вот is so склеить это же не проблем а проблему еще раз проблема в том чтобы вам получить квадрат 19 на 19 вот такой а дальше чтобы у вас в результате.

Склейки получился вот такой то есть вы смотрите мы с вами этот алгоритм сам по себе какие-то проблемы решает автоматически а какие-то нет значит надо научиться решать все проблемы значит квадрата на 4 4 на 4 можно по замечать другие забавные свойствах которые в дальнейшем будут не важны это просто вот фокус падают на 4 4 на 4 и и.

Даже этом порадовать смотрите сюда вот вот в этом квадрате кроме линий но давайте я буду поздно начать вот так кроме кроме того что равного такие суммы вот такие сумму и вот такая сумма давайте посмотрим вот есть еще забавные штуки например штука такая ну прям углы они все разные при повороте они тоже все разные значит сумма этих.

Четырех сложилось 1 разряде 6 во втором то есть наша нужная сумма получается еще вот так вот облава и можно вот таких чтобы понять ему четыре на четыре найти ну например центральный квадрате тоже получается теперь по моему получается вот так смотрите оп оп оп оп здесь четыре раза при повороте лаптопов тоже разное да то есть у нас.

Получается вот например вот так вот 2 вот тут вот еще 4 получается вечную там еще какие-то там их уйма а вот эти квадратики естественно вот два на два вот этих каждого 2 на 2 то же все четыре раз мне при повороте становятся разное ну вот в этом от тяжело замечательности даже в этом него за счет вот этого алгоритма можем.

Наблюдать свойство тут делать правда квадрате вот таком четыре на четыре сумму чисел таких подачи co2 на 25 неделе и вот здесь то же самое таких четверг очень много можете так у изучать посмотреть внимательно чего там еще чтоб мы как-то выписывали их было очень много поэтому четыре на четыре совсем удивить и так ну давайте я вам расскажу по поводу того кто чего и все.

Это выдумал значит ну во первых во первых насколько я понимаю есть и очень устоявшаяся терминология по поводу всяких квадратиках значит во первых магические квадраты магические квадраты это обычно подразумевается что расставляются числа вот единицу за и на квадрат и равно сумму строчка в столбцах у главной диагонали вот такие квадраты квадрата.

Называют чевакинский когда расставляется не разные числа расставляется вот как раз остатки определений новинка тут хорошо складывались в значит что такое грека латинский квадрат игры к латинский квадрат этого to let называются это по той причине что первый человек который про это что-то написал леонард эйлер для отеля не он снимался как вместе два.

Квадрата и он писал почему ты не циферки сейчас это трудно понять зачем он занимался наверно не был красивый почерк и у него получалось красиво вот в первые таблички описал расставлял различные буквы греческого алфавита а во втором классе пскова паллеты и 1 и когда с него обнаруживают что получается все возможно сочетаниями.

Поэтому они исторически называются гриб латинское слово вот что добился или и нашел вот такие вот алгоритмы и как говорится что было написано да я вам сейчас коротко скажу леонард эйлер использовал гипотезы что не существует добычного квадрата то есть спрос на эти ганы и порядка верная с ними на четное число не делящиеся на 4 он пытался там.

Как почему-то искать вот есть много всяких способов таких культовых тепла такте словно как там перевернем и сделаем на как и в этом разобраться вот понять как они с этим всяких в 1900 и рамка но когда я вижу примерно леонард и вот вот это вот содержание то о чем рассказывал возникло от того что я доступно кушал что нет ну не в такой большой школе а вот в летней.

Школе которые там две недели вы и русской по-моему в размере чуть ли ни одной пары людей нужно просто там седьмом-восьмом классу рассказывать факты в основе которых везде находится работу или смена посвященный не не специально ну просто вот так цепляемся еще вот это такое это хорошо ед хорошо это не цеплялось вот трейлер жил восемнадцатом веке просто чтобы.

Понимать им то есть это 1700 какие-то там годах это просто чтобы понять что значит акты что значит фраза а в 1901 году принимайте вот прошла сколько комлекта с нижнего 1901 на дон кихоте была подтверждена для n равно 6 только там через сто с лишним лет вот то есть была заказана что не существует квадрата для это равно 6 6 на 6 это было.

Сделано сделано перебором всех возможных вариантов но я думаю нарушение значит 1959 году вот ты математика паркер-боулз gear шарик шридхар обнаружен квадрат порядка десяти вы то есть 10 на есть после чего были обнаружены квадраты 14 читаются 17 18 других поэтов значит сейчас.

То есть но 1959 год это в принципе уже годах когда кое какие никакие а были вы электронную вычислительные машины и можно было уже просить их что то делать я понимаешь что машины были не мощнее нынешних телефонов вот но тем не менее их удавалось в отличие от вас которые вряд ли вы сможете придумать как поиздеваться над своим телефоном чтобы.

Загрузить его работой на все 100 вот значит давайте давайте сформулируем еще некоторые термины которые я уверен он сказался то есть давайте у нас какие у нас есть проблемы у нас есть проблема найти два таких латинских квадратов что вы представите получился хорошим ходом да вот хорошая пара хорошая пару квадратов.

Проник говорят что это ортогональный понро этом латинский квадрат вот он понял что нужно найти чтобы построить квадрат надо найти два ортогональных квадратов чтобы при склеивании получились все возможные комбинации тогда все будет хорошо причем будем мы пока мы с вами только просто магически липатов tuzina.

Значит вот опять же проходит на хорошие фишки какой-то арабский и было написано следующее что чтоб тысяч к 2009 еще никто не нашел 3 попарно ортогональных латинских квадратов порядка 10 10 это всего 100 чисел чтобы три штуки чтобы любые два давали вот при склейке давали хорош 2009 год какая понятно то есть на самом деле это такая очень плохая проблема которая даже.

В таких мерах видимо просто так не поставить что бери там компьютер застать все перебирать и там подобрать заставь его работа месяц или получить результат я думаю это был уже все попробовали видимо не получается масса попробовать поставить в домашний компьютер он у вас поработают полгода фоновом режиме или скажите увидите.

Продано сначала поискать может быть все таки уже на 6 вполне не так вот так значит север а обнаружил что можно находить квадраты которые еще лучше которые еще лучше просто магических и можно находить давайте мы с вами построим квадратик пять на пять который называется quadractiv который называется там где у малины подарок угон делать 5 на 5 мы.

Сейчас научимся делать не просто магическая квадрата а мы научимся делать супер магические квадраты которых кроме строчек столбцов ищу хорошего смотрите делать следующим образом давайте один резон 5 на 5 уже место мука и можно проделать те вещи которые 4 до 4 не удавались смотрите я буду делать так узнавать 0 1 2 3 4 я сейчас буду рисовать латинский.

Квадрат давайте я взглянуть на пример будут также все делать по цирковой будут двигаться за два понятно почему не найдет иначе будут у лего так выстраивается давайте посмотрим что досталось 124 дальше ветер еще на 2 еще отбегаю но эти два три четыре у заметим что получилось все хорошо и мало того что получилось хорошо знает чок-чок истеричка то у нас разная строчка удачно.

Получились разные столбце мы зациклились на вот чтобы раз какая-то строчка возникла такая 0 возникал каждый раз та новость 2 а еще в придачу главной диагонали оказались тоже разную а на самом-то деле на самом деле этого мало того что так получи получилось еще вот как смотрите например можно смотреть вот на такие diagonal.

И она как бы продолжается вот здесь вот такая размытый диагональ смотрите не столь на все числа разных если вы посмотреть на следующую 21 но и она продолжаться 43 оказывается что вот по таким диагональ им тоже получается все хорошо но и памяти тоже все хорошо вот такие квадраты называются пам диагональными то есть там все диагонали вот такие.

Развитые они состоят из всех чисел там разные в данном случае от нуля до четырех и понятно что если все-таки и диагонали вот в этом палочки пороша вот если мы вы найдем пару чтобы они были ортогональны тома с клеем и там переведем из путей еще системы и получим квадрат с такими же свойствами до такой же пан диагональный котором был.

Из числа от единицы до 25 до что просто надо найти пару хорошую прошлый раз мы его ее получили на халяву мы повернули квадратик и обнаружили что все супер удастся ли нам нужно это сделать сейчас по моему не удастся по-моему это легко понять например если мы его если мы его повернем это по-моему в центральные клетки у нас будет три 32.

33 ну и например видно что вот эта тройка превратиться в отвар правильно это же было 33 ну а вот три петли весьма поворачиваем по воротам и не прокатит вот какие есть предложения как получить еще один что на самом деле вот смотрите что мы делаем мы брали вот так избегая и у нас у нас был некий сдвиг и вот он вот так.

Прошел давайте сдвинем и другое - кучи слову давайте просто сдвинем на другое число этож надо подрасти они туда медленно рисом с делаем полоску отлично делаю

Комментарии

Нет комментариев!